Representación de Números y Aritmética

Introducción¶

En el lenguaje C, a diferencia de la matemática pura donde los conjuntos numéricos son infinitos, los números se representan físicamente utilizando una cantidad finita de bits en la memoria RAM del sistema. Esto significa que cada tipo de dato numérico posee un rango de representación estrictamente limitado por el hardware del procesador.

El estándar C clasifica los tipos numéricos en dos grandes familias: enteros (con y sin signo) y números reales (o de punto flotante).

Desarrollo¶

Números Enteros y Portabilidad¶

El estándar C define varios tipos enteros básicos: char (usualmente 8 bits), short (mínimo 16 bits), int (mínimo 16 bits, usualmente 32 bits en plataformas modernas) y long (mínimo 32 bits).

Tipos de Ancho Fijo (<stdint.h>)¶

Para solucionar este problema de portabilidad y evitar comportamientos erráticos al compilar en diferentes procesadores, el estándar C99 introdujo la biblioteca <stdint.h>. Esta define tipos de datos con tamaños fijos y explícitos:

Como regla general de la cátedra (ver regla Regla 0x3010h: Las variables que representan tamaños o índices de arreglos deben ser de tipo size_t), debés utilizar siempre size_t para almacenar tamaños de memoria, índices de arreglos o conteos de elementos, ya que es el tipo sin signo garantizado por el sistema para representar el tamaño de cualquier objeto en memoria.

Desbordamientos (Overflow y Underflow)¶

El desbordamiento ocurre cuando el resultado de una operación aritmética produce un valor numérico que supera los límites físicos que el tipo de dato asignado puede representar.

Enteros Sin Signo (unsigned): Comportamiento Cíclico¶

El estándar C especifica de forma estricta que los enteros sin signo operan bajo aritmética modular (módulo $2^w$, donde $w$ es el ancho en bits). Si se supera el límite superior, el valor “da la vuelta” y comienza cíclicamente desde cero de manera predecible.

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#include <stdio.h>
#include <stdint.h>

void demo_overflow_unsigned(void) {
    uint8_t numero = 255;  // Valor máximo almacenable en 8 bits
    numero = numero + 1;   // Produce 0 de forma garantizada por el estándar C
    printf("Valor: %u\n", numero);
}

Enteros Con Signo: Comportamiento Indefinido (UB)¶

A diferencia de los tipos sin signo, el desbordamiento de un entero con signo (ej: int o int32_t) constituye un Comportamiento Indefinido (Undefined Behavior o UB) según el estándar ISO de C.

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#include <stdint.h>

void demo_overflow_signed(void) {
    int8_t numero = 127;  // Valor máximo en 8 bits con signo
    numero = numero + 1;  // ¡COMPORTAMIENTO INDEFINIDO! No asumas que dará -128.
}

División de Enteros vs. División Real¶

En C, los operadores aritméticos cambian su semántica según el tipo de datos de sus operandos. Esto es especialmente crítico en la división (/):

• División de Enteros: Si ambos operandos son enteros, C realiza una división entera truncada hacia cero, descartando por completo la parte fraccionaria sin realizar redondeos.

• División Real: Si al menos uno de los operandos es un tipo flotante (float o double), C realiza una división real conservando los decimales.

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int a = 5;
int b = 2;

int resultado_entero = a / b;     // Produce 2 (se descarta la parte fraccional)
float resultado_real = (float)a / b; // Produce 2.5 (conversión explícita o
cast)

Para mayor detalle de cómo el compilador convierte implícitamente estos tipos durante operaciones aritméticas, consultá el capítulo de Introducción.

Imprecisión de Reales (IEEE 754)¶

Los procesadores modernos representan los números reales en binario siguiendo el estándar IEEE 754. Dado que no es posible representar un número infinito de valores reales utilizando una cantidad finita de bits (como los 32 bits de un float), la gran mayoría de los números fraccionarios experimentan un redondeo o truncamiento físico en memoria.

Demostración de la Periodicidad Binaria de 0.1¶

El número decimal 0.1₁₀ parece simple, pero en base binaria es un número periódico infinito. Para convertir la parte fraccionaria, multiplicamos sucesivamente por 2 y tomamos la parte entera resultante como el bit correspondiente:

1. $0.1 \times 2 = 0.2 \rightarrow \text{bit } 0$ (resto 0.2)

2. $0.2 \times 2 = 0.4 \rightarrow \text{bit } 0$ (resto 0.4)

3. $0.4 \times 2 = 0.8 \rightarrow \text{bit } 0$ (resto 0.8)

4. $0.8 \times 2 = 1.6 \rightarrow \text{bit } 1$ (resto 0.6)

5. $0.6 \times 2 = 1.2 \rightarrow \text{bit } 1$ (resto 0.2)

6. $0.2 \times 2 = 0.4 \rightarrow \text{bit } 0$ (se repite la secuencia de restos...)

Como el resto vuelve a ser 0.2 en el paso 6, el patrón se repite infinitamente:

Dado que un float reserva únicamente 23 bits para la mantisa, esta secuencia se corta físicamente en memoria, almacenando la aproximación:

Comparación Segura mediante Épsilon¶

Debido a esta imprecisión acumulada, nunca debés comparar dos números reales utilizando el operador de igualdad directa ==. En su lugar, debés verificar que la diferencia absoluta entre ambos sea menor que un margen de tolerancia sumamente pequeño denominado épsilon ($\epsilon$):

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#include <math.h>
#include <stdbool.h>

#define EPSILON 0.00001f

bool reales_casi_iguales(float a, float b) {
    // Retorna verdadero si la diferencia absoluta es menor al margen de error
    return fabsf(a - b) < EPSILON;
}

Ejercicios de Autoevaluación¶

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float promedio = (float)total_puntos / partidas; // Produce 3.75f

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#include <math.h>
#include <stdio.h>

#define EPSILON 0.00001f

void comparar(float a, float b) {
    if (fabsf(a - b) < EPSILON) {
        printf("Son equivalentes dentro del margen de error.\n");
    }
}

Glosario¶

Síntesis y Resumen¶

En este capítulo estudiaste cómo se representan numéricamente los datos en hardware y sus consecuencias:

• Límites de hardware: La RAM y los registros usan tamaños de bit fijos, lo que limita los rangos de representación a diferencia de las matemáticas abstractas.

• Portabilidad: El uso de <stdint.h> asegura anchos fijos frente a variaciones de arquitectura.

• Manejo de Desbordamiento: Los enteros sin signo tienen comportamiento modular predecible, mientras que con signo caen en comportamiento indefinido.

• Imprecisión real: La base periódica binaria para números decimales exige comparaciones robustas basadas en épsilon en lugar de comparaciones lógicas directas.

Referencias y Lecturas Complementarias¶

• Goldberg, D. (1991). What every computer scientist should know about floating-point arithmetic. ACM Computing Surveys (CSUR), 23(1), 5-48.

• ISO/IEC stdint.h Specification.

• IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic (IEEE 754).